Լիա Հովհաննիսյանի բլոգ

Թեմա՝ Երկու անհայտով երկու գծային հավասարումների համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը։

Դիցուք տրված է x և y անհայտներով գծային հավասարումների համակարգ՝

{a1x+b1y+c1=0 a2x+b2y+c2=0

(x;y) թվազույգը կոչվում է համակարգի լուծում, եթե այն բավարարում է համակարգի հավասարումներից յուրաքանչյուրին:

Առաջին աստիճանի գծային հավասարմանը բավարարում են նրա գրաֆիկի՝ ուղիղ գծի վրա գտնվող բոլոր (x;y) կետերը:

Հետևաբար, եթե մենք ուզում ենք, որ բավարարվեն համակարգի երկու գծային հավասարումները միաժամանակ, ուրեմն պետք է փնտրել այնպիսի (x;y) կետեր, որոնք միաժամանակ պատկանում են երկու ուղիղներից յուրաքանչյուրին:

Ուշադրություն

Այսպիսով, համակարգի լուծումները համակարգի հավասարումներով տրվող ուղիղների (գրաֆիկների) ընդհանուր կետերն են:

Օրինակ

1. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{x+2y−5=0, 2x+4y+3=0

x+2y−5=0 հավասարման գրաֆիկն ուղիղ գիծ է: Կառուցենք այդ ուղիղը:  

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (5;0) և (0;2.5) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

2x+4y+3=0 հավասարման գրաֆիկը ևս ուղիղ գիծ է: 

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (−1.5;0) և (2.5;−2) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները զուգահեռ են և չունեն ընդհանուր կետեր:

Պատասխան՝ համակարգը լուծում չունի:   

Օրինակ

2. Լուծենք հետևյալ համակարգը:

{2x−y−5=0,2x+y−7=0

Համակարգի հավասարումները բերենք գծային ֆունկցիայի ընդհանուր տեսքին՝ y=2x−5 և y=−2x+7

y=2x−5 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;−5) և (3;1) կետերը և դրանցով տանենք l1 ուղիղը:

y=−2x+7 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է:

Գտնենք այս հավասարմանը բավարարող երկու կետ՝

xОy հարթության վրա կառուցենք գտնված (0;7) և (1;5) կետերը և դրանցով տանենք l2 ուղիղը:

l1 և l2 ուղիղները հատվում են A կետում, որի կոորդինատները համակարգի միակ լուծումն են:

Պատասխան՝ (3;1)

Օրինակներում կիրառեցինք համակարգերի լուծման գրաֆիկական եղանակը:

Գրաֆիկական եղանակը հուսալի չէ, քանի որ միշտ չի հաջողվում ճշգրիտ գտնել հատման կետի կոորդինատները: Այդ պատճառով, խորհուրդ է տրվում գրաֆիկորեն գտնված կետը տեղադրել համակարգի հավասարումների մեջ և համոզվել, որ դրանք բավարարվում են:

Այսպիսով, գալիս ենք հետևյալ եզրակացություններին:Գծային հավասարումների համակարգը գրաֆիկական եղանակով լուծելու համար անհրաժեշտ է՝

1. յուրաքանչյուր հավասարումը լուծել y-ի նկատմամբ,
2. կոորդինատային հարթության վրա կառուցել ստացված հավասարումներին համապատասխանող ուղիղները:

ա Եթե ուղիղները հատվում են, ապա նրանց հատման կետի կոորդինատներից բաղկացած թվազույգը կլինի համակարգի միակ լուծումը:

բ Եթե ուղիղները զուգահեռ լինեն, ապա համակարգը լուծում չունի:

գ Եթե ուղիղները համընկնեն, ապա համակարգն ունի անթիվ բազմությամբ լուծումներ՝ այդ ուղղին պատկանող բոլոր կետերի կոորդինատների թվազույգերը:

Առաջադրանքներ։

1․ Որոշել ֆունկցիայի գրաֆիկի և կոորդինատային առանցքների հատման կետերի կոորդինատաները.

ա) y=2x-7 (3,5;0) (0;-7)

բ) y=-x-2(-2;0) (0;-2

2․ Որոշեք ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերի կոորդինատները.

ա) y=x+4 և y=3x; (2,6)

բ) y=-2 և y=7x+1;(-3/7,-2

3․ Համակարգը լուծել գրաֆիկական եղանակով

4․ Հետևյալ համակարգը լուծել գրաֆիկական եղանակով

5․ Գտնել հետևյալ ax+8y=20 հավասարման a գործակիցն այնպես, որ դրա գրաֆիկը անցնի (3;4) կետով:

a=-4

6․ Նույն կոորդինատական համակարգում կառուցել y=−xևy=3x+4 ֆունկցիաների գրաֆիկները և գտիր հատման կետի կոորդինատները:

հատման կետ (-1,1)

Մարդու պահանջմունքները

Մասնակիցներ`

• Միջին դպրոցի 8-րդ դասարանի սովորողներ

Նպատակը`

• Ծանոթություն մարդու պահանջմունքներին
• Մարդու պահանջմունքների տեսակները

Խնդիրը`

• Մարդը անհիշելի ժամանակներից ձգտում է ճանաչել շրջակա միջավայրը և իրեն, քանի որ դա բնական կարիքն է. ճանաչումը օգնում է գոյատևել, պահպանել անվտանգությունը և հարմարվել փոփոխվող պայմաններին։

Իրեն ճանաչելու կարևորությունը

1. Ինքնագիտակցություն: Ինքնության ճանաչումը թույլ է տալիս մարդուն հասկանալ իր արժեքները, նախասիրությունները և նպատակները, ինչը կարևոր է հոգեկան առողջության համար:

2. Արձագանք: Ինքնությունը ճանաչելուց հետո մարդը կարող է ավելի լավ արձագանքել սոցիալական միջավայրին և բարելավել իր հարաբերությունները մյուսների հետ:

3. Որակի բարելավում: Իր մասին տեղեկանալը օգնում է զարգացնել նոր հմտություններ և անձնական աճ ունենալ:

4. Հոգևոր զարգացում: Արդյունքում, ինքնաճանաչումը կարող է բերել խորիմաստ հարցերի և իմաստի որոնման, ինչը նպաստում է մարդու հոգևոր զարգացմանը:

• 5. Գոյության իմաստ: Մարդու ինքնագիտակցությունը նաև օգնում է հասկանալ կյանքի նպատակը և այն, թե ինչպիսին է իրենց դերակատարությունը հասարակության մեջ:
• Այս բոլոր գործոնները կարևոր են մարդու առօրյա կյանքում և նրա զարգացման համար:

• Ինչպե՞ս է արտահայտվում նոր միջավայր, նոր աշխարհ ստեղծելու մարդու ձգտումը: Մի՞շտ է այդ ձգտումը դրական հետևանքների հանգեցնում:

Ձգտման արտահայտման ձևեր

Թեմա՝ Երկու անհայտով երկու գծային հավասարումների համակարգերի լուծումը

Եթե համակարգի հավասարումներից մեկը փոխարինվի իրեն համարժեք հավասարումով, ապա ստացված համակարգը համարժեք կլինի սկզբնական համակարգին:

Եթե

համակարգում անհայտների գործակիցները զրոյից տարբեր են և բավարարում են հետևյալ պայմանին՝

ապա այդ համակարգը լուծում չունի կամ անհամատեղելի է։

Իսկ եթե տեղի ունի հետևյալ պայմանը՝

ապա այդ համակարգն ունի անթիվ բազմության լուծումներ:

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել հավասարումների համակարգը

3+y-4=0y=4-3y=1(3;1)

2x(-2)+y-7=0y=4+7y=11(-2;11)

y=13x-1-8=03x=1+83x=9x=3(3;1)

3x-10-2=03x=12x=4(4;5)

2․ Լուծել հավասարումների համակարգը

{2x+2y=1{2x-2y=1.     2x=1+2y1+2y+2y=12y+2y=1-14y=0y=02x=1x=1/2(1/2;0)

{2x=1-y{1-y-y=1-2y=0,y=02x=1-02x=1x=1/2 (1/2;0)

x+y=3x+y=2. O/

{x=4+2y{4+2y-4=2y2y-2y=00=0Պատ(4+2y;y)

3․ Կազմել երկու գծային հավասարումների համակարգը, այնպիսին, որ նրա հավասարումներից մեկը լինի 3x-4y=2 և 

ա) համակարգը լինի անհամատեղելի,

բ) համակարգն ունենա անթիվ բազմությամբ լուծումներ:

{3x-4y-2=0

{15x-20y-10=0

Շեղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր կողմերը հավասար են:

Շեղանկյան հատկությունները

Քանի որ շեղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

1. Շեղանկյան հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝ AB=BC=CD=AD (քանի որ հավասար են բոլոր կողմերը):

2. Շեղանկյան հանդիպակաց անկյունները հավասար են՝ ∢A=∢C, ∢B=∢D:

3. Շեղանկյան անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD, AO=OC

4. Շեղանկյան կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է՝ ∢A+∢D=180°

Միայն շեղանկյանը բնորոշ հատկություններ

5. Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են՝ AC⊥BD

6. Շեղանկյան անկյունագծերը նաև անկյունների կիսորդներ են (անկյունները կիսում են)

7. Անկյունագծերը շեղանկյունը բաժանում են չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների՝ ABO, CBO, CDO, ADO եռանկյունները հավասար ուղղանկյուն եռանկյուններ են:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր պատկերն է կոչվում շեղանկյուն։ GEOGEBRA ծրագրով գծել շեղանկյուն։

2․ Թվարկել միայն շեղանկյանը բնորոշ հատկությունները։

Միայն շեղանկյանը բնորոշ հատկություններ

5. Շեղանկյան անկյունագծերը փոխուղղահայաց են՝ AC⊥BD

6. Շեղանկյան անկյունագծերը նաև անկյունների կիսորդներ են (անկյունները կիսում են)

7. Անկյունագծերը շեղանկյունը բաժանում են չորս հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների՝ ABO, CBO, CDO, ADO եռանկյունները հավասար ուղղանկյուն եռանկյուններ են:

3․ Շեղանկյան անկյուններից մեկը 2 անգամ մեծ է մյուսից: Հաշվել շեղանկյան անկյունները:

4․ Հաշվել շեղանկյան մյուս անկյունները, եթե A անկյունը 59° է:

5․ Հաշվել շեղանկյան պարագիծը, եթե նրա կողմի երկարությունը  3.25 դմ է:

6․ Տրված է՝ OD=3 սմ, AC=14 սմ: Գտնել BD-ն և AO-ն:

7․ Հաշվել շեղանկյան մյուս անկյունները, եթե A անկյունը 67° է:

8․ Գտնել շեղանկյան կողմը, եթե նրա պարագիծը հավասար է 30 սմ։

1․ Ուղղանկյան երկարությունը 22 սմ է, իսկ լայնությունը 8 -ով սմ փոքր է: Գտնել այդ ուղղանկյան պարագիծը:

P=22+14+22+14
P=71սմ

2․ Ուղղանկյան երկարությունը 26 սմ է, իսկ լայնությունը 2 անգամ փոքր է երկարությունից: Գտնել այդ ուղղանկյան պարագիծը։

P=26-13+26+13
P=70սմ

3․ Ուղղանկյան երկարությունը 21 մ է, իսկ լայնությունը կազմում է նրա 2/3-րդ մասը։ Գտնել ուղղանկյան պարագիծը։

P=21+14+21+14
P=70մ

4․ Ուղղանկյան պարագիծը 98 մ է և նրա մի կողմը 6 անգամ մեծ է մյուսից: Հաշվել ուղղանկյան կողմերը:

Լայնությունը 7 մ
Երկարությունը 42 մ

5․ Ուղղանկյան անկյունագծերի կազմած անկյունը 40° է: Որքա՞ն են անկյունագծի կազմած անկյունները ուղղանկյան կողմերի հետ:

Յուրաքանչյուր կողմի հետ անկյունագծի կազմած անկյունը 20° է:

6․ Ուղղանկյան կողմերից մեկը 24 սմ է, մյուսը` 15 սմ: Գտիր ուղղանկյան պարագիծը և մակերեսը։

P=2×(24սմ+15սմ)=2×39սմ=78սմ
S=24սմ×15սմ=360սմ
ՈՒղղանկյան պարագիծը 78 սմ է, իսկ մակերեսը 360 սմ² է:

 7․ Հաշվել ուղղանկյան պարագիծը, եթե հայտնի է, որ նրա մակերեսը 3600 սմ² է, իսկ կողմերից մեկը՝ 40 սմ։

S=երկարություն×լայնություն
S=3600սմ²
երկարություն=40/3600​=90սմ
P=2×(90սմ+40սմ)=2×130սմ=260սմ
ՈՒղղանկյան պարագիծը 260 սմ է:

8․ Հաշվել ուղղանկյան պարագիծը, եթե հայտնի է, որ նրա լայնության և երկարության գումարը 16 սմ է։

P=2×16սմ=34սմ
ՈՒղղանկյան պարագիծը 32 սմ է:

Ուղղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են:

Ուղղանկյան հատկությունները

Քանի որ ուղղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

1. Ուղղանկյան հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝ AB=CD, BC=AD

2. Ուղղանկյան յուրաքանչյուր անկյուն 90° է:

Հետևաբար, հանդիպակաց անկյունները հավասար են և կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է:

3. Ուղղանկյան անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD AO=OC

Նաև՝ BO=OD=AO=OC (տես, միայն ուղղանկյուններին բնորոշ, վեցերորդ հատկությունը):

4. Անկյունագիծը ուղղանկյունը բաժանում է երկու հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների:

5. Անկյունագծին առընթեր խաչադիր անկյունները հավասար են:

Միայն ուղղանկյուններին բնորոշ հատկություն

6. Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են՝ BD=AC

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ո՞ր պատկերն է կոչվում ուղղանկյուն։

Ուղղանկյուն կոչվում է այն զուգահեռագիծը, որի բոլոր անկյունները ուղիղ են:

2․ Ուղղանկյան հատկությունները։

Ուղղանկյան հատկությունները

Քանի որ ուղղանկյունը զուգահեռագիծ է, ապա այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները:

1. Ուղղանկյան հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝ AB=CD, BC=AD

2. Ուղղանկյան յուրաքանչյուր անկյուն 90° է:

Հետևաբար, հանդիպակաց անկյունները հավասար են և կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180° է:

3. Ուղղանկյան անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD AO=OC

Նաև՝ BO=OD=AO=OC (տես, միայն ուղղանկյուններին բնորոշ, վեցերորդ հատկությունը):

4. Անկյունագիծը ուղղանկյունը բաժանում է երկու հավասար ուղղանկյուն եռանկյունների:

5. Անկյունագծին առընթեր խաչադիր անկյունները հավասար են:

Միայն ուղղանկյուններին բնորոշ հատկություն

6. Ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են՝ BD=AC

3․ Ուղղանկյան մի կողմը 11 սմ է, իսկ մյուս կողմը 4 սմ-ով մեծ է: Հաշվել ուղղանկյան պարագիծը:

P=(11 x 2)+(15 x 2)=52 սմ
Պատ․՝ 54 սմ։

4․ Ուղղանկյան անկյունագծերի հատման կետի հեռավորությունները կից կողմերից 6 սմ և 8 սմ են:

Գծել գծագիրը և հաշվել ուղղանկյան պարագիծը:

P=2(12+16)=2 x 28=56 սմ
Պատ․՝ 55 սմ։

5․ Ուղղանկյան կողմերը հարաբերում են ինչպես 5:8, իսկ պարագիծը 15 սմ է: Հաշվել ուղղանկյան կողմերը:

2(8x+5x)=15 սմ
8x+5x=7,5
13x=7,5
x=7,5/13 սմ
ABCD=15 սմ
BC:CD=8×5
AB=CD=?
BC=AD=?
BC=AD=8x=8 x 7,5/13=60/12 սմ
AB=CD=5x=5 x 7,5/13=375/130=75/26 սմ

ax + by + cz + d=0 տեսքի հավասարումը, որտեղ a, b, c և d-ն տրված թվեր են, ընդ որում a, b, c թվերից , գոնե մեկը 0-ից տարբեր է, անվանում են երեք անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում։ (x₀,y₀, z₀) թվերի եռյակը անվանում են հավասարման լուծում, եթե այդ թվերը բավարարում են հավասարմանը, այսինքն եթե հավասարման մեջ x-ի փոխարեն տեղադրում են x₀ , y-ի փոխարեն տեղադրում են y₀ , z-ի փոխարեն՝ z₀ հավասարումը դառնում է ճիշտ թվային հավասարություն` ax₀+by₀+cz₀+d=0

Դիտարկենք երեք անհայտովհավասարումների համակարգի լուծման օրինակներ և ցույց տանք, որ այդ համակարգերը կարելի է լուծել տեղադրման եղանակով։ Օրինակ․ Լուծենք հետևյալ հավասարումների համակարգը՝

Համակարգի երրորդ հավասարումից x-ն արտահայտենք y և z-ով` x= y-z և y-z-ը x-ի փոխարեն տեղադրենք համակարգի առաջին և երկրորդ հավասարումների մեջ։ Կստանանք՝

հավասարումները, որոնք նման ամդամների միացումից հետո կգրվեն այսպես`

Այսպիսով,տեղադրման եղանակով կարելի է x, y և z երեք անհայտով երեք առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգի լուծումը բերել y և z երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի երկու հավասարումների համակարգի լուծման։ Լուծելով վերջին համակարգը՝ գտնում ենք, որ y₀=-2, z₀=1։ y₀-ի և z₀-ի արժեքները տեղադրելով x=y-z արտահայտության մեջ՝ գտնում ենք, որ x₀=-3 ։ Այսպիսով, համակարգն ունի միակ լուծում` x₀=-3, y₀=-2, z₀=1։ Պատ․՝ (-3;-2;1)

Օրինակ 1

Օրինակ 2

Օրինակ 3

Գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար կիրառում են նաև Գաուսի մեթոդը։ Օրինակով դիտարկենք այդ մեթոդը։ Լուծենք հետևյալ հավասարումների համակարգը՝

Երրորդ հավասարումից գտնում ենք ՝ z=3։ Երկրորդ հավասարման մեր z-ի փոխարեն տեղադրելով 3՝ գտնում ենք՝ y=2։ Վերջապես առաջին հավասարման մեջ z-ի փոխարեն տեղադրելով 3, իսկ y-ի փոխարեն 2, գտնում ենք՝ x=1։ Այսպիսով , համակարգն ունի միակ լուծում ` (1;2;3) Այս տեսքի հավասարումների համակարգերն անվանում են «եռանկյունաձև» տեսքի հավասարումների համակարգեր։

Առաջադրանքներ։

1․ Լուծել հավասարումների համակարգը․

ա) Պատ․՝ (1;1;1)
բ) 
գ
դ

2․ Լուծել «եռանկյունաձև» տեսքի հավասարումների համակարգը․

3․ Լուծել հավասարումների համակարգը․

Թեմա՝ Հավասարումների եվ հավասարումների համակարգերի համարժեքությունը։

Հավասարումները, որի ձախ և աջ մասերը x-ի և y-ի նկատմամբ առաջին աստիճանի բազմանդամներ կամ թվեր են, անվանում են x և y երկու փոփոխականներով գծային հավասարում:

Օրինակ՝

• 2x – 3y + 1 = 0
• 5x – 4y = 3x – 1
• 2x – 10y = 7

Գծային հավասարման ձախ և աջ մասերում գտնվող բազմանդամների անդամներն անվանում են այդ հավասարման անդամներ:

Երկու հավասարումներ անվանում են համարժեք, եթե առաջին հավասարման ցանկացած լուծում լուծում է նաև երկրորդ հավասարման համար, իսկ երկրորդի ցանկացած լուծում նաև առաջինի լուծում է: Համարժեք են նաև այնպիսի երկու հավասարումները, որոնցից յուրաքանչյուրը լուծում չունի:

1) Եթե հավասարման երկու մասը բազմապատկենք զրոյից տարբեր միևնույն թվով (կամ բաժանենք միևնույն թվի վրա), ապա կստանանք սկզբնական հավասարմանը համարժեք հավասարում:

Օրինակ, 2x-3y+1=0 և 4x-6y+2=0 հավասարումները համարժեք են:

2) Եթե հավասարման որևէ անդամ հակադիր նշանով տեղափոխենք նրա մի մասից մյուսը, ապա կստանանք սկզբնական հավասարմանը համարժեք հավասարում:

Օրինակ, 5x-4y=3x-1 և 5x-4y-3x+1=0 հավասարումները համարժեք են:

3) Եթե գծային հավասարման ձախ և աջ մասերում կատարվի նման անդամների միացում, ապա կստացվի սկզբնական հավասարմանը համարժեք հավասարում:

Օրինակ, 2x-7+3x-4=y և 5x-11=y հավասարումները համարժեք են:

Հավասարումների երկու համակարգեր անվանում են համարժեք, եթե առաջին համակարգի ցանկացած լուծում երկրորդ համակարգի լուծում է, և երկրորդ համակարգի ցանկացած լուծում առաջին համակարգի լուծում է: Համարժեք են նաև այն համակարգերը, որոնցից յուրաքանչյուրը լուծում չունի:

Ակնհայտ է, որ համակարգի հավասարումներից մեկը փոխարինվի իրեն համարժեք հավասարումով, ապա ստացված համակարգը համարժեք կլինի սկզբնական համակարգին:

Եթե

համակարգում անհայտների գործակիցները զրոյից տարբեր են և բավարարում են հետևյալ պայմանին՝

ապա այդ համակարգը լուծում չունի, իսկ եթե տեղի ունի հետևյալ պայմանը՝

ապա այդ համակարգն ունի անթիվ բազմության լուծումներ:

Առաջադրանքներ։

1․ Համարժե՞ ք են արդյոք հավասարումները․

< =>չեն

3x-5y=0<=>3x=5y

ճիշտ չէ

<=> են 

2․ Կազմել տված հավասարմանը համարժեք հավասարում.

ա) 4x – 2 + y = 0 

-2+y=-4

բ) 5x + 4y – 2 = 2x – 3y + 5 

5x-2x=-3y+5+2-4y

գ) 3x + 6y – 9 = 0 

x+2y-3=0

դ) x – y – 1 = 0

x=y+1

3․ Համարժե՞ք են արդյոք հավասարումների համակարգերը.

համարժեք չեն

համարժեք չեն

համարժեք չեն

4․ Կազմել տված համակարգին համարժեք համակարգ.․

{4x=2y-5

{3x=-y+2

{3x=-y+4

{-y+2x=5

5․ Ինչպիսի՞ a-ի դեպքում են հավասարումների համակարգերը համարժեք․

համարժեք չեն