Թեմա՝ Զուգահեռագիծ:

Զուգահեռագիծ կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են:

Զուգահեռագծի հատկությունները

1. Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝  AB=DC,BC=AD

2. Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են՝  ∠A=∠C, ∠B=∠D

3. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD, AO=OC

4. Զուգահեռագիծը անկյունագծով բաժանվում է երկու հավասար եռանկյունների՝ ABC և CDA եռանկյունները հավասար են:

5. Զուգահեռագծի յուրաքանչյուր կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180 աստիճան է՝ ∠A+∠D=180°

6. Անկյունագծի խաչադիր անկյունները հավասար են՝ ∠BAC=∠ACD,∠BCA=∠CAD

Զուգահեռագծի հայտանիշները

Զուգահեռագծի հայտանիշները թույլ են տալիս պարզելու, թե արդյո՞ք տրված քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

1. Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ 

2. Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է: 

3. Եթե քառանկյան անկյունագծերը հատվում և հատման կետով կիսվում են, ապա քառանկյունը զուգահեռագիծ է:  

Օրինակ

1. Կարելի է արդյո՞ք պնդել, որ 4 մ, 4 մ, 6 մ, 6 մ կողմերով քառանկյունը զուգահեռագիծ է:

Պատասխան՝ ոչ, քանի որ տրված չէ, որ հավասար կողմերը հանդիպակաց են:  

2. Զուգահեռագծի հերթականությամբ վերցված կողմերի երկարությունները հավասար են 4 մ, 6 մ, 4 մ, 6 մ : Արդյո՞ք քառանկյունը զուգահեռագիծ է: 

Պատասխան՝ այո, ըստ երկրորդ հայտանիշի:

Առաջադրանքներ

1․ Ո՞ր պատկերն է կոչվում զուգահեռագիծ։

Զուգահեռագիծ կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են:

2․ Թվարկել զուգահեռագծի հատկությունները

Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են՝  AB=DC,BC=AD

Զուգահեռագծի հանդիպակաց անկյունները հավասար են՝  ∠A=∠C, ∠B=∠D

Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են՝ BO=OD, AO=OC

Զուգահեռագիծը անկյունագծով բաժանվում է երկու հավասար եռանկյունների՝ ABC և CDA եռանկյունները հավասար են:

Զուգահեռագծի յուրաքանչյուր կողմին առընթեր անկյունների գումարը 180 աստիճան է՝ ∠A+∠D=180°

Անկյունագծի խաչադիր անկյունները հավասար են՝ ∠BAC=∠ACD,∠BCA=∠CAD

3․ Տաթևիկը չափեց զուգահեռագծի երկու անկյունները և ստացավ 27 և 164 աստիճանի մեծություններ: Արդյո՞ք նա ճիշտ էր չափել: 

Պատասխանը հիմնավորել։

4․ Բերված պնդումներից ընտրիր ճիշտ պնդումները զուգահեռագծերի վերաբերյալ:

(ա) Զուգահեռագծի անկյունագծերը զուգահեռ են:)

բ) Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը զուգահեռ են:

գ) Զուգահեռագծի կից կողմերը զուգահեռ չեն:

5․ Զուգահեռագծի պարագիծը 48 սմ է: Գտեք զուգահեռագծի կողմերը, եթե՝

ա) կողմերից մեկը մյուսից մեծ է 3 սմ-ով, բ) կողմերից մեկը երկու անգամ մեծ է մյուսից:

գ) կից կողմերը հարաբերում են ինչպես 1:3-ի:

x+x+3+x+x+3=48
4x+6=48
4x=48-6
4x=42
x=42:4
x=10,5
x+3=10,5+3

x+3=13,5

Պատ․՝ 10,5 սմ, 13,5 սմ, 10,5 սմ, 13,5 սմ։

6․ Զուգահեռագծի անկյուններից մեկը 40 է, գտեք մյուս անկյունները:

Քանի որ զուգահեռագծի երկու անկյունների գումարը 1800 է, հետևաբար 180-40=1400:

40+140+40+140=3600

Պատ․՝400, 1400, 400, 1400:

7․  Գտեք զուգահեռագծի անկյունները, եթե դրանցից երկուսի գումարը 100է:

100:2=500

360:100=2600

260:2=1300

Պատ․՝ 500, 1300, 500, 1300:

8․ Գտեք ABCD զուգահեռագծի անկյունները, եթե՝

ա)∠A=840 ւժ+

բ) ∠A+∠C=1420

դ) ∠A=2∠B:

1. Նշել Գերմանիայի աշխարհագրական դիրքի առավելություններն ու թերությունները:

Աշխարհագրական դիրքի առավելությունները նրանում է , որ Գերմանիան ունի լիքը ջրային ավազաններ, հարևաններ երկրները Եվրամիության անդամներ են, Գերմանիան գտնվում է Եվրոպայի կենտրոնում։  

1. Նշել Գերմանիայի տնտեսության զարգացման նախադրյալները:

Գերմանիան ունի լավ կլիմայական պայմաններ և դրա շնորհիվ ունի բուսաբուծություն, անասնապահություն։ Գերմանիան գտնվում է Եվրոպայի կենտրոնում, և դրա  շնորհիվ նա կարող է զարգացնել իր տնտեսությունը։ Ունի աշխատասեր և մեծ բնակչություն։ Արտահանում է ածուխ։ Նախադրյալներից է նաև ծովային ավազանները։

1. Ի՞նչ դեր ունի Գերմանիան ժամանակակից աշխարհում:

Գերմանիան շատ մեծ դեր ունի ժամանակակից աշխարհում։ Գերմանիայում զարգացած է սպասարկան ոլորտը, ունի նավահանգիստներ, արտահանում է մեքենաներ, քիմիական արտադրություն, ածուխ, հանդիսանում է ամենազարգացած երկրներից մեկը։

1. Ուրվագծային քարտեզի վրա նշել Գերմանիայի հարևան պետությունները, ափերը ողողող ջրային ավազանները:

1. Թվարկի՛ր խոշոր գետերը:

1. Բնակչության մասին ի՞նչ գիտես:

Բնակչությունը նյութական բարիքների գլխավոր ստեղծողն է և սպառողը: 

Ենթադրվում է, որ մարդկության գոյության ամբողջ ժամանակահատվածում ծնվել է շուրջ 

81

մլրդ մարդ, իսկ մահացել՝ 

74

մլրդ: Հետաքրքիր է, որ երկու հազար տարի առաջ երկրագնդի վրա ապրում էր մոտ 

230

մլն մարդ:

Գերմանիաի մահածությունը շատ է իսկ  ծննդա բերությունը քիչ:

Պատասխանի՛ր հարցերին
1.Գրե՛ք նյութերի քիմիական բանաձեւերը, եթե հայտնի է, որ դրանց բաղադրության մեջ առկա են.
ա) Նատրիումի երկու եւ ծծմբի մեկ ատոմ,

Na
բ) ածխածնի ու թթվածնի մեկական ատոմ:

CO

Կարդացե՛ք այդ բանաձեւերն ու համապատասխան քիմիական նյութերի վերաբերյալ տեղեկություննե՛ր տվեք:

CO=Ածխածնի մոնոքսիդ

K2S=Կալիումի սլուֆիդ

2.

Ջրում եւ ջրածնի պերօքսիդում թթվածնի օքսիդացման աստիճանը համապատասխանաբար հավասար է.
ա) -2 -2 բ) -2 +2.       (գ) -2 -1 դ) +2 0 )

3.

Քրոմի ու թթվածնի միացություններից մեկում քրոմը +3 օքսիդացման աստիճան է ցուցաբերում: Ո՞րն է այդ միացության քիմիական բանաձեւը.
1)CrO 

2) Cr2O3 +

3) CrO2 

4) CrO3

Թեմա՝ Քառանկյուն։

Բազմանկյունը կոչվում է քառանկյուն, եթե այն ունի 4 կողմ:

Քառանկյունն ունի 4 կողմ, 4 գագաթ, 4 անկյուն, 2 անկյունագիծ:  Ուռուցիկ քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 360°-ի:

Քառանկյան երկու կողմերը կոչվում են հանդիպակաց, եթե  կից չեն: Քառանկյան երկու գագաթները, եթե հարևան չեն, կոչվում են հանդիպակաց գագաթներ:

Նմանապես  սահմանվում է հանդիպակաց անկյունները:

Քառանկյունները լինում են ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ:

Ուռուցիկ քառանկյան յուրաքանչյուր անկյունագիծ քառանկյունը տրոհում է երկու եռանկյան:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Գծել ուռուցիկ և ոչ ուռուցիկ քառանկյուններ: Նշել գագաթները: Գրել ուռուցիկ քառանկյան հանդիպակաց գագաթները,  հանդիպակաց կողմերը, հանդիպակաց անկյունները: 

: 

Հանդիպակաց գագաթներ՝A և C, B և D:

Հանդիպակաց կողմեր՝DC և AD, AB և DC:

Հանդիպակաց անկյուններ ՝A և C, B և D:

Կից անկյուններ՝A ևD, A և B, D և C, B և C:

2․ Գտնել ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե նրա երեք անկյունները իրար հավասար են, իսկ չորրորդ անկյունը դրանցից յուրաքանչյուրից փոքր է 30օ -ով:

x+x+x-40=360

3x=360+40

3x=400

x=400:4

x=100

100-40=60

Պատ. երեք անկյուններ՝100, չորրորդ անկյուն`60:

3․ Գտնել քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 12 սմ է, իսկ կողմերից մեկը մյուս կողմերից մեծ է համապատասխանաբար 5 մմ-ով, 6 մմ-ով և 8 մմ-ով:

x+x+x+x+3+4+5=80

4x=80-12

4x=68

x=68:4

x=17

I-17

II-17+3=20

III-20+4=24

IV=24+5=29

4․ Ուռուցիկ քառանկյան երկու հանդիպակաց անկյունների գումարը 180օ: Ինչի՞ է հավասար մյուս երկու հանդիպակաց անկյունների գումարը:

(4-2)*180=360

360-180=180

360:4=90

Գտեք ուռուցիկ հնգանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 2, 3, 4, 5, 6, թվերին:

n=5

• (5-2)*180=540
• 540:(2+3+4+5+6)=27
• 27*2=54
• 27*3=81
• 27*4=108
• 27*5=135
• 27*6=162

6․ Քանի՞ կողմ ունի ուռուցիկ բազմանկյունը, եթե նրա անկյունների գումարը 720օ 

Թեմա՝ Երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգեր։

Դիցուք տրված են x և y երկու անհայտներով առաջին աստիճանի գծային հավասարումներ՝ a1x+b1y+c1=0 և a2x+b2y+c2=0: Ասում են, որ տրված է  x և y երկու անհայտներով հավասարումների համակարգ, եթե պահանջվում է գտնել բոլոր այն (x;y) թվազույգերը, որոնք միաժամանակ բավարարում են և՛առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումներին:

Համակարգի հավասարումները գրում են իրար տակ և միացնում են հատուկ նշանի՝ ձևավոր փակագծերի միջոցով.

(x;y) թվազույգը, որը հանդիսանում է միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումների լուծում, կոչվում է համակարգի լուծում:

Լուծել համակարգը նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները կամ ապացուցել, որ լուծումներ չկան:

Օրինակ

Հոր և որդու տարիքների տարբերությունը 25 է, իսկ գումարը՝ 35: Գտնել հոր և որդու տարիքները:

Լուծում: Պետք է գտնել երկու անհայտ մեծություններ՝ հոր և որդու տարիքները: Նշանակենք դրանք համապատասխանաբար x և y տառերով: Խնդրի պայմանները կարելի է արտագրել հետևյալ երկու հավասարումների միջոցով՝ x−y=25 և x+y=35

Որոնելի x և y թվերը պետք է բավարարեն միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումներին: Հետևաբար, ըստ վերևի սահմանման, ստանում ենք հավասարումների համակարգ՝

Այս համակարգի համար գտնում ենք x=30 և y=5 թվերը, որոնք բավարարում են համակարգի երկու հավասարումներին: Հետևաբար հայրը 30 տարեկան է, իսկ որդին՝ 5

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1․ Ի՞նչն են անվանում երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգի լուծումը։

{a1x+b1y+c1=0}

{a2x+b2y+c1=0}

2․ Ի՞նչ է նշանակում լուծել համակարգը։

Լուծել համակարգը նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները կամ ապացուցել, որ լուծումներ չկան:

3․ Ընտրել x+y=15 հավասարմանը բավարարող բնական թվերի զույգ:

• (17;−2)այո
• (0;15)այո
• (−9;−6)ոչ
• (−6;21)այո
• (3;5)ոչ
• (13;2)այո

4․ Ընտրել այն հավասարումը, որին բավարարում է (2;1) թվազույգը:

• 15x−12y=3
• 6x+8y=1
• 7x+3y=10
• 4x−3y=7
• 6x−2y=4
• 10x−11y=9+

5․ Համակարգի հավասարումներում անվանել գործակիցները և ազատ անդամները.

6․ Հանդիսանում է արդյո՞ք (2;1) թվազույգը հետևյալ համակարգի լուծում:

7․ Ցույց տալ, որ (1;2) թվազույգը համակարգի լուծում է.

8․ Ցույց տալ, որ (-2;1) թվազույգը համակարգի լուծում չէ.

9․ Տրված է հավասարումների հետևյալ համակարգը՝

Հայտնի է, որ (−6;9) թվազույգը նրա լուծումն է: Որոշել a և b գործակիցները:

1․ Որոշիել ax+8y=20 հավասարման a գործակցի արժեքը, եթե հայտնի է, որ (−4;−4) թվազույգը այդ հավասարման լուծում է:

2․ Տված հավասարումներից y-ը արտանայտել x-ով:

ա) 2x+y=6

y=6-2x

բ) 3x+y=7

y=7-3x

գ) x+y-8=12

y=12+8-x

y=20-x

դ) y+2=6x

ե) 3x+2y=9
զ) -4x+2y=13

3․ Տված հավասարումներից x-ը արտանայտել y-ով:

ա) x-y+5=0
բ) 2x-3y+9=0
գ)15x+y-8=0
դ) x+3y-15=0
ե) 7x+y=6
զ) -4x+y=-19

10 հետաքրքիր փաստեր Ֆրանսիայի մասին 

1. Սովորաբար եվրոպացիների մեծ մասի համար, մասնավորապես` ֆրանսիացիների, «OK» ժեստը համարվում է վիրավորանք և նվաստացում, այսինքն մարդը ոչնչություն է` զրո:

2.  Ֆրանսիան համարվում է հեծանվի և բալետի հայրենիքը։

3.  Օրենքի համաձայն` ֆրանսիացիները տարեկան ամենաքիչը ունեն հինգ արձակուրդային շաբաթ։

4.  Երեք շուշանները, որոնք պատկերված են Ֆրանսիայի զինանշանին, խորհրդանշում են կարեկցանք, արդարություն և ողորմածություն:

5.  Ամեն տարի Ֆրանսիան հյուրընկալում է ավելի քան 67 մլն տուրիստ, դա ավելին է, քան Ֆրանսիայի բնակչությունը:

6. Ֆրանսիայում թեյավճարը արդեն իսկ ընդգրկված է լինում հաշվի մեջ և կազմում է ընդհանուր հաշվի 15 %-ը:

7.  Ֆրանսիացիները ֆրանսիական համբույրը անվանում են անգլիական համբույր:

8.  Ֆրանսիական որոշ բուրժուական ընտանիքներում մինչև հիմա երեխաները ծնողներին դիմում են «Դուք»-ով:

9.  Փարիզի «Նոր կամուրջը» իրականում ամենահին կամուրջն է բոլոր քաղաքային կամուրջների մեջ:

10. Երեք հարյուր ճանաչված մշակութային գործիչներ բողոքի նամակ են գրել ընդդեմ Էյֆելյան աշտարակի` նշելով, որ այն աղավաղում է Փարիզի տեսքը: Նամակը ստորագրողների թվում են եղել Գի դը Մոպասանը, Շառլ Գունոն, Ալեքսանդր Դյումա-որդին, ճարտարապետ Շառլ Գարնիեն:

Թեմա՝ Բազմանկյուն, ուռուցիկ բազմանկյուն

Բազմանկյուն կոչվում է պարզ փակ բեկյալից և նրանով սահմանափակված տիրույթից բաղկացած պատկերը:

Բեկյալի հանգույցները կոչվում են բազմանկյան գագաթներ, իսկ օղերը՝ կողմեր:

Բազմանկյան մի կողմին պատկանող երկու գագաթները կոչվում են հարևան գագաթներ: Երկու ոչ հարևան գագաթները (որոնք չեն գտնվում նույն կողմի վրա) միացնող հատվածը կոչվում է բազմանկյան անկյունագիծ:

A, B, C, D, E՝ գագաթներ, AB, BC, CD, DE, AE՝ կողմեր, AC, AD, BE, BD, CE՝ անկյունագծեր: 

Բոլոր կողմերի երկարությունների գումարը կոչվում է բազմանկյան պարագիծ: Յուրաքանչյուր քազմանկյուն հարթությունը բաժանում է երկու մասի, որոնցից մեկը կոչվում է բազմանկյան ներքին տիրույթ, իսկ երկրորդը՝ արտաքին տիրույթ

Ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը:

Ընդհանուր դեպքում, բազմանկյունը կարելի անվանել n-անկյուն, եթե այն ունի n հատ կողմ, n հատ անկյուն և n հատ գագաթ:

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ընկած է իր ցանկացած երկու հարևան գագաթներով անցնող մի ուղղի կողմում։

Նկարում պատկերված F₁ բազմանկյունը ուռուցիկ է, իսկ F₂բազմանկյունը ուռուցիկ չէ:

Ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°⋅(n−2)-ի:

Ցանկացած բազմանկյուն կարելի է բաժանել եռանկյունների: Այդպես է արված վերևի նկարում: Եռանկյունների թիվը  2 -ով քիչ է բազմանկյան կողմերի թվից: Եռանկյունների կողմերը բազմանկյան կողմեր և անկյունագծեր են:

Ցանկացած եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180° է: Հետևաբար, ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը 180°⋅(n−2) է:

Հարցեր և առաջադրանքներ։

1. Ո՞ր բազմանկյուն է կոչվում ուռուցիկ։

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ընկած է իր ցանկացած երկու հարևան գագաթներով անցնող մի ուղղի կողմում։

2․ Ի՞նչ բանաձևով են հաշվում բազմանկյան բոլոր անկյունների գումարը։

Ցանկացած եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180° է: Հետևաբար, ուռուցիկ n-անկյան անկյունների գումարը 180°⋅(n−2) է:

3․ Գծագրել ուռուցիկ հնգանկյուն և վեցանկյուն: Բազմանկյուններից յուրաքանչյուրում որևէ գագաթից տարեք բոլոր անկյունագծերը: Տարված անկյունագծերով քանի՞ եռանկյան է տրոհվում բազմանկյուններից յուրաքանչյուրը:

4. GEOGEBRA ծրագրով գծիր որևէ բազմանկյուն։
ա) Ցույց տուր գագաթները, նշիր կարմիրով

բ) Ցույց տուր կողմերը

գ) Ցույց տուր կից կողմերը

դ) Ցույց տուր հարևան գագաթները։

5.GEOGEBRA ծրագրով գծել ուռուցիկ բազմանկյուն, ինչի՞ է հավասար նրա պարագիծը։

6. GEOGEBRA ծրագրով գծել ոչ ուռուցիկ բազմանկյուն, ցույց տուր որ այն ուռուցիկ չէ։

7. GEOGEBRA ծրագրով գծել ուռուցիկ բազմանկյուն, նշիր նրա արտաքին և ներքին տիրույթները։  Ներքին տիրույթը ներկիր սպիտակ, արտաքին տիրույթը՝ կապույտ։

8.GEOGEBRA ծրագրով գծել եռանկյուն։ Ինչքա՞ն է եռանկյան բոլոր անկյունների աստիճանային գումարը։

9. GEOGEBRA ծրագրով գծել քառանկյուն։ Ինչքա՞ն է քառանկյան բոլոր անկյունների աստիճանային  գումարը։

(4-2)x180=360 աստիճան

10. GEOGEBRA ծրագրով գծել հնգանկյուն։ Ինչքա՞ն է հնգանկյան  բոլոր անկյունների աստիճանային  գումարը։

11. GEOGEBRA ծրագրով գծել վեցանկյուն։ Ինչքա՞ն է վեցանկյան  բոլոր անկյունների աստիճանային  գումարը։

(6-2)x180=720

12․ Գտնել ուռուցիկ հնգանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 2, 3, 4, 5, 6 թվերին:

Ուռուցիկ հնգանկյան անկյունները՝ համեմատական 2:3:4:5:6, կլինեն՝

1. 54°
2. 81°
3. 108°
4. 135°
5. 162°

Անկյունների գումարը՝ 540°։