Թեմա՝ Երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարումներ։
ax+by+c=0 (1)
տեսքի հավասարումը, որտեղ a, b, c-ն տված թվեր են, ընդ որում a և b թվերից գոնե մեկը տարբեր է զրոյից, իսկ x-ը և y-ը անհայտներ են, անվանում են x և y երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում:
Այդ անվանումը կապված է նրա հետ, որ (1) հավասարման ձախ մասը x և y-ի նկատմամբ առաջին աստիճանի կատարյալ տեսքի բազմանդամ է:
a և b թվերն անվանում են անհայտի գործակիցներ, a թիվը՝ x-ի գործակից, իսկ b թիվը՝ y-ի գործակից:
ax, by, c արտահայտություններն անվանում են (1) հավասարման անդամներ: Ընդ որում c թիվն անվանում են ազատ անդամ:
(x0,y0)թվազույգն անավանում են (1) հավասարման լուծում, եթե այդ թվերը բավարարում են (1) հավասարմանը, այսինքն՝ x-իփոխարեն տեղադրելով x0, իսկ y-ի փոխարեն y0`հավասարումը վերածվում է ճիշտ թվային հավասարության՝
ax0+by0+c=0:
ax+by+c=0 , որտեղ b հավասար չէ 0 (2)
տեսքի ցանկացած հավասարում ունի անթիվ բազմության լուծումներ, որովհետև x-ի համար կարող ենք վերցնել ցանկացած x0 արժեք, և հավասարումը լուծելով y անհայտի նկատմամբ կգտնենք
y0=(-c-ax0)/b :
(x0, y0) թվազույգը կլինի (2) հավասարմանլուծում:
Քանի որ x0 թվերը անվերջ շատ են, ապա և (2) հավասարման լուծումները անվերջ շատ կլինեն:
x և yերկու անհայտով տված հավասարումից y-ըարատահայտել x-ով՝ նշանակում է լուծել այդ հավասարումը y-ի նկատմամբ ղ-ի ցանկացած տված արժեքի համար:
Օրինակ
2x-5y+2=0 (3)
հավասարումից y-ը արատահայտենք x-ով և գրենքայդ հավասարման բոլոր լուծումները:
Համարենք x-ը կամայական թիվ է, y-ը անհայտն է և լուծենք(3) հավասարումը:
2x+2=5y
5y=2x+2
y=2/5x+2/5 (4)
Այսպիսով, (3) հավասարման բոլոր լուծումները կլինեն (x;2/5x+2/5) տեսքի, որտեղ x-ը ցանկացած թիվ է:
Դատելով նման կերպ՝ կստանանք, որ
ax+by+c=0, որտեղ a0տեսքի հավասարումները ունեն անվերջ թվով լուծումներ: Բոլոր այդ լուծումները գրվում են
(-c-by)/a; y) տեսքով, որտեղ y-ը ցանկացած թիվ է:
Առաջադրանքներ
1․
ա) Երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում է այն հավասարումը, որը կարող է ունենալ երկու անհայտ՝ x և y, և այդ անհայտների աստիճանները 1 են: Առաջին աստիճանի հավասարումը գծային է, այսինքն՝ գրաֆիկը ուղղի է: Օրինակ՝ 2x + 3y = 5:
բ) ( ax + by + c = 0 ) հավասարման լուծում է այնպիսի ( (x_0, y_0) ) թվազույգը, որի դեպքում x-ի և y-ի արժեքները տեղադրելով հավասարման մեջ՝ ստանում ենք ճիշտ հավասարում: Այստեղ ( a ) և ( b ) գործակիցներից գոնե մեկը պետք է զրոյի չհավասարվի, որպեսզի հավասարումը գծային լինի:
2․ ( x — y + 1 = 0 ) հավասարումը ունի անվերջ լուծումներ, քանի որ սա երկու անհայտով առաջին աստիճանի հավասարում է, և այդպիսի հավասարումները, սովորաբար, անվերջ լուծումներ ունեն:
3․
ա) ( 5x + 4y — 2 = 0 )
բ) ( -3y + 4 = 0 )
գ) ( 2y — 1 = 0 )
դ) ( -5x — y = 0 )
4․ ( x − 2y + 5 = 0 ) հավասարման գործակիցներն են՝ ( a = 1 ), ( b = -2 ), ( c = 5 ):
5․
Տեղադրենք տրված թվազույգերը ( 3x + 2y — 1 = 0 ) հավասարման մեջ.
ա) ( (1; -1) ):
( 3(1) + 2(-1) — 1 = 3 — 2 — 1 = 0 ), այսինքն՝ (1; -1) լուծում է:
բ) ( (5; -7) ):
( 3(5) + 2(-7) — 1 = 15 — 14 — 1 = 0 ), այսինքն՝ (5; -7) լուծում է:
գ) ( (-3; 5) ):
( 3(-3) + 2(5) — 1 = -9 + 10 — 1 = 0 ), այսինքն՝ (-3; 5) լուծում է:
6․ ( 8x + 4y — 8 = 0 ) հավասարումում ( x = 0 ) դեպքում՝
( 8(0) + 4y — 8 = 0 ),
( 4y — 8 = 0 ),
( 4y = 8 ),
( y = 2 ):
7․ ( 13x + 5y = 26 ) հավասարումում ( y = 0 ) դեպքում՝
( 13x + 5(0) = 26 ),
( 13x = 26 ),
( x = 2 ):
8․ ( 3x — 7y + 22 = 0 ) հավասարումից արտահայտենք ( x )-ը՝
( 3x = 7y — 22 ),
( x = \frac{7y — 22}{3} ):
9․ ( ax + 8y = 20 ) հավասարումում տեղադրենք ( (x, y) = (-4, -4) )՝
( a(-4) + 8(-4) = 20 ),
( -4a — 32 = 20 ),
( -4a = 52 ),
( a = -13 ):
10․ ( x + 2y — 24 = 0 ) հավասարումից գտնենք այնպիսի թվազույգ, որի առաջին թիվը 2 անգամ մեծ է երկրորդից, այսինքն՝ ( x = 2y ): Տեղադրենք հավասարման մեջ՝
( 2y + 2y — 24 = 0 ),
( 4y — 24 = 0 ),
( 4y = 24 ),
( y = 6 ),
( x = 2(6) = 12 ):
Ուրեմն ( (12; 6) ) թվազույգը հավասարման լուծում է:
Լիա Հովհաննիսյանի բլոգ 