Վարժություն կոտորակներով (դաս 12) 

1․ Կրճատիր կոոտորակը․

2. Պարզեցրո՛ւ արտահայտությունը.

3. Կատարի՛ր գումարում.

4. Հաշվի՛ր տարբերությունը.

Կրճատիր կոոտորակը․

1. 1/2
2. ?
3. ?
4. 1/4
5. 3/4
6. 2/3
7. 1/4
8. 2/4
9. 1/7
10. 1/3
11. 3/4
12. ?
13. 1/3
14. ?
15. ?
16. ?
17. ?

2. Պարզեցրո՛ւ արտահայտությունը.

1. 3x+27

3. Կատարի՛ր գումարում.

1. 9/9
2. 7/6
3. 10/10
4. 15/21
5. 12/20
6. 12/25
7. 17/18
8. 29/40
9. 24/49
10. 21/44
11. 16/42
12. 24/56

4. Հաշվի՛ր տարբերությունը.

1. 1/6
2. 0

Աշխատանք դասագրքով։

Տեսություն։

էջ 62, պարագրաֆ 3․4։

Առաջադրանքներ։

էջ 63-65, առաջադրանքներ՝ 204-219։

ա) (x-y)(x+y) = x²-y²
բ) m²-n² = (m+n)(m-n)

p²-q² = p²-pq+pq-q²
a²-b² = a²-ab+ab-b²
-c²+cd-cd+d² = -c²+d²
x²-y² = xy + y² -x² – xy

Միանդամը բազմանդամի հետ բազմապատկելիս, պետք է միանդամը հերթականությամբ բազմապատկել բազմանդամի բոլոր անդամներով:
Օրինակ՝
a(2-b+3a)=a2-ab+a3a=2a-ab+3a²

Իսկ հակառակ գործողությունը, երբ բազմանդամը ներկայացվում է միանդամի և մեկ այլ բազմանդամի արտադրյալի տեսքով, կոչվում է ընդհանուր արտադրիչը փակագծերից դուրս բերում:
Օրինակ՝

x²y+x²y²=x²y(1+y)

Տրված բազմանդամը -1-ով բազմապատկելուց ստացված բազմանդամն անվանում են տրված բազմանդամի հակադիր բազմանդամ:
Օրինակ՝ a-b²+15 և -1(a-b²+15)=-a+b²-15 հակադիր բազմանդամներ են:

Առաջադրանքներ

1) Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը.

ա) x(x-y+10) = x² – xy + 10x

բ) (x-y)(-3) = -3x +3y

գ) (a+b-c)a = a² + ab – ac

դ) (a-b+c)2b = 2ab – 2b² + 2 bc

2) Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերեք փակագծերից.

ա) 3a+ 3b = 3(a+b)

բ) 2x-2y = 2(x-y)

գ) 5a+10 = 5(a+2)

դ) 14-7y = 7(2-y)

ե) 12x+6y = 6(2x+y)

զ) 4-4a = 4(1-a)

է) ab-bc = b(a+c)

3) Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը.

ա)(x²-xy+y²)(-12x²y³) = 12a⁶b⁵ + 12x³y⁴ – 12x²y⁵

բ) 2a²b⁵(a⁴-5ab²-3b²) = 2a⁶b⁵ – 10a³b⁷ – 6a²b⁷

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

4) Ձևափոխեք արտահայտությունը կատարյալ տեսքի բազմանդամի.

ա) 4(x-y)+7(x-y) = 11x² – 11y²

բ) 2a-3(b-a) = 2ab – 2a² – 3b + 3a

գ) 2(a-b)-3(a+b) = -6a² + 6b²

դ) 2ab(a+2b)-3ab(b-a) = 6a⁴b² – 12a²b⁴

5) Գտեք միանդամի և բազմանդամի արտադրյալը.

ա) -2x(x+y) =

բ) (7+3y-xy)(-3xy) =

գ) 3ab(a-2+b) =

դ) (-ab)(ab+ac+bc)

6) Ընդհանուր արտադրիչը դուրս բերեք փակագծերից

 ա) a²+ab               

 բ) b⁵-b²

 գ) x²-x                       

 դ) x²y²+y⁴

 ե) 2xy-x³                   

զ) 4a⁶-2a³b

7) 

ա) 8abx-6acy-10ak

բ) 63xy-84y²+98ay

գ) 20ax-35bx-40x²:

8)

ա) x³+x²-x

բ) -5x²y²-5xy²

գ) 2a³b-6ab⁴+4a²b³

դ) 16x+8x²-4x³+2x⁴:

Միանդամի կատարյալ տեսքը, նման միանդամներ (դաս 3)

Տառեր պարունակող ոչ զրոյական միանդամը եթե ունի միայն մեկ թվային արտադրիչ, որը գրված է առաջին տեղում, իսկ յուրաքանչյուր տառ հանդես է գալիս միայն մեկ անգամ՝գրված որոշակի աստիճանի տեսքով, ընդ որում՝ տառերը գրված են այբբենական կարգով, ասում են, որ այդպիսի միանդամն ունի կատարյալ տեսք:

Օրինակ՝  3a²b  կատարյալ տեսքի է

                  aab3  կատարյալ տեսքի չէ

Տառեր պարունակող ոչ զրոյական կատարյալ տեսքով գրված միանդամի թվային արտադրիչը անվանում են միանդամի գործակից:

Օրինակ՝ -12ab⁴c կատարյալ տեսքով գրված միանդամի գործակիցը՝ -12-ն է:

Եթե ոչ զրոյական միանդամը ունի միայն տառային արտադրիչներ, ապա համարում են, որ նրա գործակիցը 1 է: 

Օրինակ՝  x⁵yz⁷  միանդամի գործակիցը 1 է:

Ցանկացած իրական թիվ համարվում է կատայալ տեսքով գրված միանդամ:

Օրինակ՝ -3; 123; -⅘   կատրայալ տեսքի միանդամներ են:

Զրոյական միանդամի կատարյալ տեսքը 0-ն է:

Ցանկացած միանդամ կարելի է բերել կատարյալ տեսքի:

Օրինակ՝ a(-3)a³b²(-4)b=12a⁴b³

                 x²y0z=0

Կատարյալ տեսքի ոչ զրոյական միանդամի աստիճան կոչվում է նրա մեջ մտնող բոլոր տառերի աստիճանների գումարը:

Օրինակ՝ 4x⁵y -ը  6 աստիճանի միանդամ է:

0-ից տարբեր թիվ հանդիսացող միանդամի աստիճանը 0 է, իսկ 0 թիվը միակ միանդամն է, որի աստիճանը չի սահմանվում:

Սահամնում։ Կատայալ տեսքի ոչ զրոյական  միանդամներն անվանում են նման, եթե նրանք իրար հավասար են, կամ տարբերվում են միայն իրենց գործակիցներով:

Օրինակ՝ 3ab և 5ab նման են, որովհետև տարբերվում են միայն գործակցով:

Պարզելու համար՝ նմա՞ն են արդյոք տրված միանդամները, նրանց սկզբում պետք է բերել կատարյալ տեսքի: 

Նման միանդամների գումարը հավասար է մի միանդամի, որը նման է դրանցից յուրաքանչյուրին և գործակիցը հավասար է այդ միանդամների գործակիցների գումարին: Նույն ձևով էլ հանումը:

Օրինակ՝ 3a³b+4a³b=(3+4)a³b

                 2xy-4xy=(2-4)xy=-2xy

Այս գործողությունները կոչվում են նման անդամների միացում:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

1) Ո՞ր միանդամներն անվանում նման:

    Ինչպե՞ս ենք գումարում, հանում նման միանդամները:

2) Տրված միանդամների մեջ գտեք նմանները

ա) 2a³b;  3a⁴b²; 4a³b;  80a⁴b²; a³b;  -a⁴b²;  a;  -c;  6px; 6a⁴b²; -5px

2a³b = 4a³b = a³b
3a⁴b² = 80a⁴b² = -a⁴b² = 6a⁴b²

բ)  0a²b³; -3a³b²; 0ab; 12a²b³; 2a³b²

3) Գտեք նման միանդամների գումարին հավասար միանդամը

ա) 3m+5m

բ)  15a²b+14a²b+7a²b

գ)  25b²c³+(-27)b²c³+7b²c³

4) Գտեք նման միանդամների տարբերությանը հավասար միանդամը

ա) a-3a=-2a

բ) 10b-18b

գ) 3bc-17bc

դ) mk-3mk

ե) 4b²c-12b²c

զ) 18a³b⁵-9a³b⁵

5) Կատարեք նման անդամների միացում

ա) 6a⁸b²+7a⁸b²+(-2)a⁸b²

բ) 0c²e⁵+4c²e⁵-16c²e⁵

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ (ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ)

6) Գտեք նման միանդամների գումարին հավասար միանդամը.

ա)  3b+b+b

բ) 32xyz²-44xyz²-12xyz²

գ)  4ab+ab+23ab:

7) Կատարեք նման անդամների միացում.

ա) 6,46a⁴k+2,14a⁴k-8,6a⁴k

բ) 7,14ax²+4,36ax²-12,8ax²

8) Տրված են կատարյալ տեսքի միանդամներ. որոշեք նրանց գործակիցները և աստիճանը

9) Գրառեք

ՀԱՎԵԼՅԱԼ ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

10) Խնդիրներ

ա) Մտապահված թիվը 3-ի, 6-ի և 9-ի բաժանելիս ստացվող մնացորդների գումարը 15 է: Գտեք այդ թիվը 18-ի բաժանելիս ստացվող մնացորդը:

բ) Դպրոցում տեղի ունեցած երեք օլիմպիադաներից յուրաքանչյուրին մասնակցեց 50 աշակերտ, ընդ որում 60 աշակերտ մասնակցեց միայն մեկ օլիմպիադայի, իսկ 30 աշակերտ` ճիշտ երկու օլիմպիադայի: Քանի՞ հոգի մասնակցեց բոլոր օլիմպիադաներին:

Միանդամի արտադրյալը, բնական ցուցիչով աստիճան (դաս 2)

k հատ արտադրիչների արտադրյալը, որոնցից յուրաքանչյուրը նշանակում են a է, կարճ նշանակում են a^k և անվանում a-ի k-րդ աստիճան: k-ն կոչվում է աստիճանացույց, իսկ a-ն՝ հիմք:

Օրինակ՝ 

Դիցուք m-ը և n-ը բնական թվեր են, ապա տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները՝

Տված միանդամը և նրա առջև մինուս նշան դրված միանդամը կոչվում են հակադիր միանդամներ:

Օրինակ՝ 3abc և -3abc միանդամները հակադիր միանդամներ են:

Որպեսզի ստանանք տված միանդամին հակադիր միանդամ, պետք է այդ միանդամի առջև դնել մինուս նշան կամ որ նույնն է, այ նբազմապատկել -1-ով:

Առաջադրանքներ

**Կարդացե՞լ ես դասը։ Հարցեր տեսական մասից

ա․ Ի՞նչ է ցույց տալիս a^k -ը։ Նշի՛ր a-ի և k-ի նշանակությունը։
բ․ Ինչի՞ է հավասար a-ի առաջին աստիճանը։
գ․ Արտադրյալի տեսքով ներկայացրու a³-ը։
դ․ Բեր երկու հակադիր միանդամների օրինակ։

1) Պարզեցրեք միանդամի գրառումը՝ օգտագործելով աստիճանը.

ա) aba = a²b

բ) kpppkp = k²p⁴

գ) 3abab = 3a²b²

ե) ababa = a3b2

դ) 7xxyyyyx = 7x³y⁴

զ) 3a2a3a = 5a³

ը) a²a³a⁵ = 3a¹⁰

է) a³a⁴ = 2a⁷

2) Գտեք միանդամների արտադրյալին հավասար միանդամը.

ա) 44p⁴k³

բ) 120x⁶y⁴

գ) -18a³b

դ) 36b³c²

3)  Բարձացրեք աստիճան.

a⁴

b¹⁵

9a²

6b³

4c⁴

10ab

4) Գրառեք՝

ա) a-ի խորանարդի և b-ի քառակուսու արտադրյալը:

a³b²

բ) a-ի քառակուսու և b-ի կրկնապատկի արտադրյալը:

a²b²

գ) a-ի խորանարդի և b-ի քառակուսու եռապատիկի արտադրյալը:

a³(b²)³

դ) a-ի քառակուսու կրկնապատիկի և a-ի խորանարդի արտադրյալը:

a⁴a³

Լրացուցիչ առաջադրանքներ

5) Գտեք միանդամների արտադրյալին հավասար միանդամը.

-25c⁴k³

42k³p⁸

-56p⁴x⁷

-250x⁶y⁴

6) Բարձացրեք աստիճան.

7ab⁶

9b4^c

1/3a⁴

3/4a⁵

7) Տրված միանդամը ներկայացրեք մեկ այլ միանդամի քառակուսու տեսքով.

52a²

72b²

82c⁴

92e⁶

82k⁸

1/72p⁸

2ամբ. 1/4²a¹⁰x⁶

(5²/9²)b¹²y¹⁰

8) Բալից խյուս պատրաստելիս 18/100 -ը թափոն է դառնում: Որքա՞ն բալ պետք է վերցնել 17.22 տոննա խյուս ստանալու համար:

Լուծում՝ 18/100 = x 82/100 = 17,22

18/100 • 17,22 = 309,96/100 = 82x/100

X = 309,96/82 = 3,78

Պատ.՝ 3,78

Բազմանդամի հասկացությունը (դաս 4)

Միանդամների գումարն անվանում են բազմանդամ: Այդ գումարի մեջ մասնակցող միանդամներն անվանում են բազմանդամի անդամներ:

Օրինակ՝

a²+2ab+b²-ն բազմանդամ է, որտեղ a², 2ab, b²-ն` նրա անդամները:

x-y³-ը  ևս բազմանդամ է, չնայած նրա գրառման մեջ մասնակցում է մինուս նշան: Դա պայմանավորված է նրանով, որ x-y³=x+(-y³):

Միանդամը ևս համարում են բազմանդամ:

0 թիվն անվանում են զրոյական բազմանդամ:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

1) Բերեք բազմանդամների օրինակներ և նշեք նրա բոլոր անդամները:

Բազմանդամ 4+x+z, 10+a+y Անդամներ 4, x, z, 10, a, y

2) Կարելի՞ է արդյոք 2,5 թիվը համարել բազմանդամ:

Ոչ

3) Բազմանդամը գրեք միանդամների գումարի տեսքով

ա) a-b =a+(-b) գ) 2a-3 = 2a + (-3)

բ) -xy-y³ = -xy + (-y3) դ) -2x²-0,5y = -2×2+ (-0,5y)

4) Բազմանդա՞մ է, արդյոք, տրված արտահայտությունը.

ա) 2a-43 – այո

բ) 8,734 – ոչ

գ) ab-4 – այո

դ) 0 – ոչ

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ (ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ)

5)  Օգտագործելով «+»և «-» նշանները վերականգնել հավասարությունը

ա) 1*2*3*4*5*6*7*8*9=37

բ) 1*2*3*4*5*6*7*8*9=28:

6) Քանի՞ ազդանշան կարելի է հաղորդել, եթե էլեկտրական ցանցում կա տարբեր գույնի 2 էլեկտրական լամպ:

Անվերջ

7) Պարզեցնել բազմանդամը՝

ա) 7a+2a+3a = 12a

բ) 3m-12m+2a = -9m + 2a

գ) 12a-b-3a-8b = 9a – 9b

դ) 1,1x-2,7y+0,5x+1,3y = 1,6x – 1,4y

8) Պարզեցնել բազմանդամը՝

ա) 2b-13y+b+5y-4b = -1b-8y

բ) 15a-4x-6,6a+2,4x+5a = 13,4a-6,4x

գ) 27a-3,1b+9a+3,8a+0,7b-a = 40,8a – 2,4b

դ) ba²-3a³+7aba+aaa

9) Միանդամները բերել կատարյալ տեսքի և հաշվել միանդամի աստիճանը

ա) (-2)b3 = -6b

բ) 3a²a³8 ^{= 24a5}

գ) px²(-1)p³x^{6 = -p4x8}

դ) 19bb⁵0 = 0Posted

Միանդամի հասկացությունը(դաս 1)

Պարզագույն հանրահաշվական արտահայտությունները միանդամներ են: Միանդամ անվանում են թվերի և տառերի արտադրյալ հանդիսացող հանրահաշվական արտահայտությունը: Այդ տառերը և թվերը անվանում են տվյալ միանդամի արտադրիչներ:

Օրինակ՝ 3abc հանրահաշվական արտահայտությունը միանդամ է, նրա արտադրիչներն են՝ 3 թիվը և a, b, c տառերը:

Թիվը կամ մեկ տառը նույնպես անվանում են միանդամ:

Օրինակ, a, b, c, 1, -123, 0 հանրահաշվական արտահայտությունները միանդամներ են:

0 թիվն անվանում են զրոյական միանդամ:

Հատկություն 1

Երկու միանդամներ համարում են հավասար, եթե նրանք իրարից տարբերվում են միայն արտադրիչների հերթականությամբ:

 Երկու միանդամների իրար հավասար լինելը գրառելու համար օգտագործում են հավասարության նշան:

a3bc և 3cba միանդամները իրար հավասար են, որովհետև տարբերվում են միայն արտադրիչների հերթականությամբ, դրա համար էլ գրում են`

a3bc=3cba հավասարությունը:

Հատկություն 2

Երկու միանդամներ համարվում են հավասար, եթե նրանցից մեկը ստացվել է մյուսից նրա մեջ մտնող թվային արտադրիչները նրանց արտադրյալով փոխարինելով: Օրինակ՝

a7(-3)b=a(-21)b

Հատկություն 3

Միանդամը համարում են հավասար զրոյի, եթե նրա արտադրիչների մեջ կա զրո թիվը: Օրինակ՝

a(-1)b0c=0

Այսպիսով, միանդամը, որի արտադրիչների մեջ կա զրո թիվը, հանդիսանում է զրոյական միանդամ: Մնացած միանդամներն անվանում են ոչ զրոյական :

Հատկություն 4

Երկու միանդամներ համարում են հավասար, եթե նրանցից մեկը ստացվում է մյուսից՝ 1 արտադրիչը բաց թողնելով: Օրինակ՝

a1bc=abc:

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

1) Միանդամ են արդյոք հետևյալ արտահայտությունները

ա) a-այո

բ) a+b-ոչ

գ) ba-այո

դ) b2c-այո

ե) ab/(a+b)-ոչ

զ) ax/b-այո

է) 3/4 xy-այո

ը) 0-ոչ

թ) -1,26-այո

ժ) (a-b)/3 -ոչ

ի) p4xy-այո

լ) 7a-3-ոչ

2) Պարզեցրեք միանդամի գրությունը

ա) 0ab-0

բ) xy0z-0

գ) 1kpx-kpx

դ) ab1m-abm

ե) a5b(-3)c(-8)-24a5bc3

զ) 6x12y(-13)z—936xyz3

3) Ի՞նչ արժեք է ստանում 3x + 2y գումարը փոփոխականների հետևյալ արժեքների դեպքում

x = 1.2, y = 1.5:

3x + 2y = 3,6 + 6,6

4) Գտեք թիվը, եթե հայտնի է, որ նրա 6.2%-ը հավասար է 9.3-ի

X x 6,2 / 100 = 9,3

930/6,2

X = 930:6,2=9300 : 62 = 150

Պատ.՝ 150

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ (ԼՐԱՑՈՒՑԻԻՉ)

1) Գրեք բոլոր այն միանդամները, որոնք ստացվում են տրված միանդամում արտադրիչների տեղերը փոխելիս

ա) 3ab=ba3=a3b=b3a=ab3

բ) d(-2)3c=d(-2)3c=d3c(-2)=d3(-2)c=cb(-2)3

գ) x7yz=xyz7=xy7z=yxz7=zy7x=y7xz=yx7z

դ) a4=4a

ե) ab3=3ab=a3b=3ba=b3a=ba3

զ) 2ak5=a2k5=ak25=2ka5=k2a5=ka25

2) Պարզեցրեք միանդամի գրությունը

ա) -2ab(-3)c = 6abc3

բ) 12d(-45)a=-540da2

գ) bx(-12)34=-408bx2

դ) xy1=xy ?

3) Գտեք ամենափոքր հնգանիշ թվի և ամենամեծ եռանիշ թվի տարբերությունը

-10000 − 999 = 9001

4) Քանի՞ օր է 3 միլիոն ժամը

125000 օր

5) Գտե՛ք 17‐ի բազմապատիկ բոլոր երկնիշ թվերը

17, 34, 51, 68, 85

Միանդամի արտադրյալը, բնական ցուցիչով աստիճան (դաս 2)

k հատ արտադրիչների արտադրյալը, որոնցից յուրաքանչյուրը նշանակում են a է, կարճ նշանակում են a^k և անվանում a-ի k-րդ աստիճան: k-ն կոչվում է աստիճանացույց, իսկ a-ն՝ հիմք:

Օրինակ՝ 

Դիցուք m-ը և n-ը բնական թվեր են, ապա տեղի ունեն հետևյալ հավասարությունները՝

Տված միանդամը և նրա առջև մինուս նշան դրված միանդամը կոչվում են հակադիր միանդամներ:

Օրինակ՝ 3abc և -3abc միանդամները հակադիր միանդամներ են:

Որպեսզի ստանանք տված միանդամին հակադիր միանդամ, պետք է այդ միանդամի առջև դնել մինուս նշան կամ որ նույնն է, այ նբազմապատկել -1-ով:

Առաջադրանքներ

**Կարդացե՞լ ես դասը։ Հարցեր տեսական մասից

ա․ Ի՞նչ է ցույց տալիս a^k -ը։ Նշի՛ր a-ի և k-ի նշանակությունը։
բ․ Ինչի՞ է հավասար a-ի առաջին աստիճանը։
գ․ Արտադրյալի տեսքով ներկայացրու a³-ը։
դ․ Բեր երկու հակադիր միանդամների օրինակ։

1) Պարզեցրեք միանդամի գրառումը՝ օգտագործելով աստիճանը.

ա) aba       բ) kpppkp     գ) 3abab    դ) 7xxyyyyx

ե) ababa     զ) 3a2a3a     է) a³a⁴       ը) a²a³a⁵

2)   Գտեք միանդամների արտադրյալին հավասար միանդամը.

3)  Բարձացրեք աստիճան.

4) Գրառեք՝

ա) a-ի խորանարդի և b-ի քառակուսու արտադրյալը: 

բ) a-ի քառակուսու և b-ի կրկնապատկի արտադրյալը:

գ) a-ի խորանարդի և b-ի քառակուսու եռապատիկի արտադրյալը:

դ) a-ի քառակուսու կրկնապատիկի և a-ի խորանարդի արտադրյալը:

Լրացուցիչ առաջադրանքներ

5) Գտեք միանդամների արտադրյալին հավասար միանդամը.

6) Բարձացրեք աստիճան.

7) Տրված միանդամը ներկայացրեք մեկ այլ միանդամի քառակուսու տեսքով.

8) Բալից խյուս պատրաստելիս 18/100 -ը թափոն է դառնում: Որքա՞ն բալ պետք է վերցնել 17.22 տոննա խյուս ստանալու համար: