AB և MN երկու հատվող ուղիղները առաջացնում են չորս անկյուններ՝ AOM, MOB, BON և NOA։ Բոլոր այդ անկյուններն ունեն ընդհանուր O գագաթ։ Եթե այդ անկյուններից մեկը ուղիղ է, ապա մյուս անկյունները ևս ուղիղ են։

Իրոք, եթե AOM անկյունն ուղիղ է, ապա նա կազմում է MON փռված անկյան կեսը և AOB փռված անկյան կեսը։ Ուրեմն, NOA և MOB անկյունները ևս ուղիղ են։ Քանի որ NOA անկյունն ուղիղ է, ապա նա հավասար է AOB փռված անկյան կեսին։ Ուրեմն, NOB անկյունը նույնպես ուղիղ է։ Երկու ուղիղներ, որոնք հատվելիս առաջացնում են ուղիղ անկյուններ, անվանում են ուղղահայաց ուղիղներ։ Գրում են.

AB⊥MN

Այս գրառումը կարդում են՝ “AB ուղիղն ուղղահայաց է MN ուղղին”։ Եթե AB⊥MN, ապա և MN⊥AB։

Ուղղահայաց ուղիղները կառուցելու համար օգտագործում են գծագրական եռանկյուն կամ անկյունաչափ։

Ուղղահայաց ուղիղների վրա գտնվող հատվածները անվանում են ուղղահայաց հատվածներ։

Առաջադրանքներ

1) Գտեք կից անկյունների կիսորդներով կազմած անկյունը

2) K, L, M երեք կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: KL=6սմ, LM=10սմ: Որքան կարող է լինել KM հեռավորությունը: Կատարեք գծագիր յուրաքանչյուր հնարավոր դեպքի համար:

3) Գտեք կից անկյունները, եթե նրանց տարբերությունը 35⁰ է:

4) a ուղիղը A անկյան կողմերը հատում է P և Q կետերում: Կարո՞ղ են, արդյոք, երկու՝ AP և AQ ուղիղներն էլ լինել a ուղղին ուղղահայաց:

5) Նկարում <AOB=50⁰, <FOE=70⁰: Գտեք AOC, BOD, COE և COD անկյունները:

6) Ըստ նկարի՝ գտեք 1, 2, 3, 4 անկյունները, եթե՝

ա) <2+<4=220⁰,

բ) 3(<1+<3)=<2+<4,

գ) <2-<1=30⁰:

7) O կետից տարված են OA, OB և OC ճառագայթները, ընդ որում՝ OB⊥OA:AOB և BOC անկյունների կիսորդներով կազմված անկյունը 75⁰ է: Գտեք BOC և AOC անկյունները:

Երկու անկյուններ, որոնց մի կողմն ընդհանուր է, իսկ մյուս կողմերը մեկը մյուսի շարունակությունն են, կոչվում են կից անկյուններ: Նկ.1 

նկ.1 <AOC և < COB կից են: OA և OB ճառագայթները կազմում են փռված անկյուն, Հետևաբար կարելի է ասել`

Հատկություն 1.

Կից անկյունների գումարը 180⁰ է:

Սահմանում 2.

Երկու անկյուններ կոչվում են հակադիր, եթե անկյուններից մեկի կողմերը մյուսի կողմերի շարունակությունն են: Նկ. 2

Նկ.2 ում <1 և <2-ը,  և <4-ը հակադիր են:

Հատկություն 2.

Հակադիր անկյունները հավասար են:

Ապացուցեք ինքնուրույն:

Առաջադրանքներ

1) Գտեք ABC անկյան կից անկյունը, եթե`

ա) <ABC=125⁰ = 55^o

բ) <ABC=90⁰ = 90^o

գ) <ABC=43⁰ = 137^o

2) Գտեք  hk և kl կից անկյունները, եթե`

ա) <hk-ն 40⁰-ով փոքր է <kl-ից

Լուծում՝ 180-40=140^o
140:2=70^o
70+40=110^o

Պատ.՝ hk = 70^o kl = 110^o

բ) <hk=3<kl

Լուծում՝ 3x + x = 180^o
4x = 180^o
180 : 2 = 90^o
90 : 2 = 45^o

Պատ.՝ hk = 45^o, kl = 135^o

գ) <hk : <kl= 5:4

Լուծում՝ 180 : 9 = 20
20 x 5 = 100
20 x 4 = 80

Պատ.՝ hk = 100, kl = 80

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

3) O կետից տարված են OA, OB և OC ճառագայթները, ընդ որում` <AOB և <BOC-ի կիսորդներով կազմված անկյունը 20⁰ է, OA-ն ուղղահայաց է OB-ին Գտեք <BOC և <AOC:

Լուծում՝ 180 – 20 = 170^o
170 : 2 = 135^o

Պատ.՝ 135^o

4) Գծեք երեք անկյուն՝ սուր, ուղիղ, բութ: Գծեք նաև դրանց յուրաքանչյուրի կից անկյունը:   

Ուղիղ անկյան աստիճանը կազմում է՝ 90^o, իսկ նրա կից անկյան աստիճանը կազմում է 90^o

Բութ անկյան աստիճանը կազմում է՝ 90^o-ից մեծ 180^o-ից փոքր, ես որոշեիի նշանակել 150^o, իսկ նրա կից անկյան աստիճանը կազմում է 30^o

5) Գտեք երկու ուղիղների հատումից առաջացած չփռված անկյունները, եթե՝ ա) դրանցից երկուսի գումարը 114⁰ է, բ) երեք անկյունների գումարը 220⁰ է:

ա) 57^o
բ)140^o

6) Նկարում պատկերված է երեք ուղիղ, որոնք հատվում են O կետում: Գտեք անկյունների գումարը՝ <1+<2+<3:

360^o

<ABC = 40^o
<ABD = 20^o
<DBC = 20^o

<ABC = 65^o
<ABD = 32,5^o
<DBC = 32,5^o

<ABC = 140^o
<ABD = 70^o
<DBE = 35^o
<EBC = 105^o
<ABE = 35^o

1 փռված անկյուն

Այո

180^o

1/36

9 անգամ

1 = 36^o
2 =120^o
3 = 24^o

<ABC = 77^o

Լուծում՝ 77:2 = 38,5^o
38,5 – 17 = 21,5^o
38,5 + 17 = 55,5^o

Պատ.՝ <ABD = 55,5^o
<DBC = 21,5^o

Լուծում՝ 155:2=77,5^o

77,5+23=100,5^o

77,5-23=54,5^o

Պատ.՝ <ABD = 100,5^o
<DBC = 54,5^o

Կասենք, որ բազմանդամն ունի կատարյալ տեսք, եթե նրա բոլոր անդամները գրված են կատարյալ տեսքով և նրանց մեջ չկան նման անդմաներ:

Օրինակ՝

կատարյալ տեսքի բազմանանդամներ են:

Երկու անդամներից բաղկացած կատարյալ տեսքի բազմանդամն անվանում են երկանդամ, երեք անդամներից բաղկացած կատարյալ տեսքի բազմանդամն անվանում են եռանդամ և այլն: Օրինակ՝

Ցանկացած բազմանդամ կարելի է բերել կատարյալ տեսքի:

Կատարյալ տեսքի ոչ զրոյական բազմանդամի աստիճան անվանում են նրա մեջ մտնող միանդամների աստիճաններից ամենամեծը:

Օրինակ՝ 20a³-2b+7 բազմանդամը գրված է կատարյալ տեսքով, նրա աստիճանը 3 է, քանի որ նրա մեջ մտնող միանդամների աստիճաններն են 3, 1 և 0, իսկ դրանցից ամենամեծը 3-ն է:
3x-5 բազմանդամի աստիճանը 1 է:
34 բազմանդամի աստիճանը 0 է: (0-ից տարբեր ցանկցած թիվ զրո աստիճանի բազմանդամ է:)
0-ն միակ բազմանդամն է, որի աստիճանը որոշված չէ:

Առաջադրանքներ

1) Գրել բազմանդամների 4 օրինակներ, բերել կատարյալ տեսքի և հաշվել աստիճանը:

2a + b⁵ աստիճան 5
5b + t⁴ + u⁶ աստիճան 6
8a + b⁴ + k⁸ աստիճան 8
6a – x⁹ աստիճան 9

2) Բազմանդամը կատարյալ տեսքի՞ է և եթե ոչ, բերել կատարյալ տեսքի.

ա) 3m – 3n աս. 1
բ) 1 աս. 1
գ) 2x⁵ – 1 աս. 5
դ) -1ab³ – a³b աս. 3

3)  Բազմանդամը բերեք կատարյալ տեսքի և որոշեք նրա աստիճանը.

ա) 7a²b + 5b²a + ba²
բ) -6ax³+5a³-ax³

Առաջադրանքներ (լրացուցիչ)

4)Բազմանդամը բերեք կատարյալ տեսքի և որոշեք նրա աստիճանը.

ա) 3ax²-2a²x+5a²x²
բ) 8n³+4p²n²
գ) 10a³-12ba²

5) Երկրաբաններն անցան 1890 կմ երկարությամբ ճանապարհ։ Ճանապարհի 10 %-ը նրանք թռան օդանավով, 60 %-ը՝ լողացին մակույկներով, իսկ մնացած մասն անցան ոտքով։ Երկրաբանները որքա՞ն ճանապարհ անցան ոտքով։

Լուծում՝ 1890 x 30 : 100 = 756 կմ
Պատ.՝ 756 կմ

6) Տղան 2.4 ժամում անցավ 7.2կմ: Քանի՞ կիլոմետր կանցնի տղան 1.4 ժամում նույն արագությամբ:

Լուծում՝ 2,4 = 7,2 1,4 = x
1,4 x 7,2 = 10,08
10,08 : 2,4 = 4,2

Պատ.՝ 4,2 կմ

7) C և D տառերի փոխարենընտրեք այնպիսի միանդամներ, որ տեղի ունենա հավասարությունը.

ա) 2a+C+a+5b=3a+8b

C = 3b

բ) 3x+C+y+D=11x+5y

C = 8x
D = 4y

գ) C-2a+3b-D=10a-4b

C = 12a
D = 7b

դ) C+D+x=25x+17y

C = 24x
D = 17y

Մարդուն ամենուրեք հարկավոր են չափումներ։ Առանց չափումների նա չի կարող հագուստ կարել, տուն կառուցել, մեքենա պատրաստել, տիեզերանավ արձակել։ Մարդը սովորել է չափել շատ մեծություններ, այնպիսիք, ինչպիսիք են ժամանակը, երկարությունը, մակերեսը, ծավալը, զանգվածը, ջերմաստիճանը։

Մեծությունները չափում են՝ դրանք համեմատելով մեծությունների որևէ միավորի հետ։ Օրինակ, եթե AB հատվածը կարելի է բաժանել 5 մասի՝ յուրաքանչյուրը 1 սմ, ապա նրա երկարությունը հավասար է 5 սմ-ի։ Նույն հատվածը կարելի է բաժանել 50 հատվածի, յուրաքանչյուրը 1 մմ, ուստի և նրա երկարությունը հավասար է 50 մմ-ի։ Եթե հատվածը հնարավոր չէ բաժանել 1 սմ-անոց ամբողջ թվով հատվածների, ապա այն բաժանում են ավելի փոքր հատվածների, օրինակ՝ 1-ական մմ, այսինքն՝ որպես երկարության միավոր վերցնում են ոչ թե սանտիմետրը, այլ միլիմետրը։ Քանի որ 1 սմ = 10 մմ, ապա երկարության միավորն այդ դեպքում բաժանում են 10 հավասար մասերի։ 1 մմ երկարության միավորը կարելի է դարձյալ բաժանել 10 հավասար մասերի և այլն։ Ընդհանրապես, չափման միավորները (բացի ժամանակի միավորներից) փոքրացնում կամ մեծացնում են 10, 100, 1000 և այլն անգամ։

Որպես երկարության հիմնական միավոր ընդունված է մետրը։Երկարության մնացած միավորները ստացվում են հիմնական միավորից 10, 100, 1000 և այլն անգամ մեծացնելով կամ փոքրացնելով։ Այդ միավորների անվանումները կազմվում են նախածանցների միջոցով։ Միավորը 10 անգամ փոքրացնելիս կիրառում են “դեցի” նախածանցը, 100 անգամ՝ “սանտի”, 1000 անգամ՝ “միլի”։ Միավորը 10 անգամ մեծացնելիս կիրառում են “դեկա” նախածանցը, 100 անգամ՝ “հեկտո” և 1000 անգամ՝ “կիլո”: Օրինակ, եթե մետրը փոքրացնենք 10 անգամ, ապա կստացվիդեցիմետր, եթե մետրը փոքրացնենք 100 անգամ, ապա կստացվիսանտիմետր, իսկ եթե մետրը փոքրացնենք 1000 անգամ, ապա կստացվի միլիմետր։ բայց եթե մետրը մածացնենք 1000 անգամ, ապա կստացվի կիլոմետր։

Հատվածի երկարությունը չափում են քանոնով: Քանոնի վրա նշված ենգծիկներ, որոնք այն բաժանում են հավասար մասերի, որոնց անվանում են չի: Յուրաքանչյուր բաժանման երկարությունը հավասար է մեկ սանտիմետրի: Քանոնի բոլոր բաժանումները կազմում են սանդղակ, որի միջոցով որոշում են հատվածի երկարությունը: AB հատվածի երկարությունը հավասար է 6 սմ-ի: Գրում են՝ AB = 6 սմ:

Եթե X կետը AB հատվածը բաժանում է AX և XB մասերի, ապա ամբողջ հատվածի երկարությունը հավասար է նրա մասերի երկարությունների գումարին:

AB = AX + XB

Առաջադրանքներ

1) AB հատվածի երկարությունը հավասար է 37 սմ-ի: C և D կետերը գտնվում են այդ հատվածի վրա, ընդ որում D կետը գտնվում է C և B կետերի միջև: Գտեք CD հատվածի երկարությունը, եթե AD = 27 սմ, BC = 19 սմ:

ԵՐԿԱՐՈՒԹՅԱՆ ՄԻԱՎՈՐՆԵՐ, ՀԱՏՎԱԾԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆԸ (ԴԱՍ 4)

Մարդուն ամենուրեք հարկավոր են չափումներ։ Առանց չափումների նա չի կարող հագուստ կարել, տուն կառուցել, մեքենա պատրաստել, տիեզերանավ արձակել։ Մարդը սովորել է չափել շատ մեծություններ, այնպիսիք, ինչպիսիք են ժամանակը, երկարությունը, մակերեսը, ծավալը, զանգվածը, ջերմաստիճանը։

Մեծությունները չափում են՝ դրանք համեմատելով մեծությունների որևէ միավորի հետ։ Օրինակ, եթե AB հատվածը կարելի է բաժանել 5 մասի՝ յուրաքանչյուրը 1 սմ, ապա նրա երկարությունը հավասար է 5 սմ-ի։ Նույն հատվածը կարելի է բաժանել 50 հատվածի, յուրաքանչյուրը 1 մմ, ուստի և նրա երկարությունը հավասար է 50 մմ-ի։ Եթե հատվածը հնարավոր չէ բաժանել 1 սմ-անոց ամբողջ թվով հատվածների, ապա այն բաժանում են ավելի փոքր հատվածների, օրինակ՝ 1-ական մմ, այսինքն՝ որպես երկարության միավոր վերցնում են ոչ թե սանտիմետրը, այլ միլիմետրը։ Քանի որ 1 սմ = 10 մմ, ապա երկարության միավորն այդ դեպքում բաժանում են 10 հավասար մասերի։ 1 մմ երկարության միավորը կարելի է դարձյալ բաժանել 10 հավասար մասերի և այլն։ Ընդհանրապես, չափման միավորները (բացի ժամանակի միավորներից) փոքրացնում կամ մեծացնում են 10, 100, 1000 և այլն անգամ։

Որպես երկարության հիմնական միավոր ընդունված է մետրը։Երկարության մնացած միավորները ստացվում են հիմնական միավորից 10, 100, 1000 և այլն անգամ մեծացնելով կամ փոքրացնելով։ Այդ միավորների անվանումները կազմվում են նախածանցների միջոցով։ Միավորը 10 անգամ փոքրացնելիս կիրառում են “դեցի” նախածանցը, 100 անգամ՝ “սանտի”, 1000 անգամ՝ “միլի”։ Միավորը 10 անգամ մեծացնելիս կիրառում են “դեկա” նախածանցը, 100 անգամ՝ “հեկտո” և 1000 անգամ՝ “կիլո”: Օրինակ, եթե մետրը փոքրացնենք 10 անգամ, ապա կստացվիդեցիմետր, եթե մետրը փոքրացնենք 100 անգամ, ապա կստացվիսանտիմետր, իսկ եթե մետրը փոքրացնենք 1000 անգամ, ապա կստացվի միլիմետր։ բայց եթե մետրը մածացնենք 1000 անգամ, ապա կստացվի կիլոմետր։

Հատվածի երկարությունը չափում են քանոնով: Քանոնի վրա նշված ենգծիկներ, որոնք այն բաժանում են հավասար մասերի, որոնց անվանում են չի: Յուրաքանչյուր բաժանման երկարությունը հավասար է մեկ սանտիմետրի: Քանոնի բոլոր բաժանումները կազմում են սանդղակ, որի միջոցով որոշում են հատվածի երկարությունը: AB հատվածի երկարությունը հավասար է 6 սմ-ի: Գրում են՝ AB = 6 սմ:

Եթե X կետը AB հատվածը բաժանում է AX և XB մասերի, ապա ամբողջ հատվածի երկարությունը հավասար է նրա մասերի երկարությունների գումարին:

AB = AX + XB

Առաջադրանքներ

1) AB հատվածի երկարությունը հավասար է 37 սմ-ի: C և D կետերը գտնվում են այդ հատվածի վրա, ընդ որում D կետը գտնվում է C և B կետերի միջև: Գտեք CD հատվածի երկարությունը, եթե AD = 27 սմ, BC = 19 սմ:

CD = 8սմ

2) Ուղղանկյան կողմերից մեկը 16 սմ է, իսկ մյուսը 3 անգամ մեծ է: Գտեք ուղղանկյան պարագիծը:

16×3=48սմ

P = 128սմ

3) Ուղղանկյունաձև այգու հողամասի երկարությունը 85 մ է, իսկ լայնությունը` 39 մ: Գտեք այդ հողամասի պարագիծը:

P = 248մ

4) M և N կետերն ընկած են AB հատվածի վրա, ընդ որում N կետը զետեղված է M և B կետերի միջև: Գտեք AB հատվածի երկարությունը, եթե AN = 42 սմ, MB = 24 սմ, MN = 8 սմ:

42+24-8 = 56սմ

AB = 58սմ

5) B կետը գտնվում է A և C կետերի միջև, իսկ D կետը` A և B կետերի միջև: Գտեք DC հատվածի երկարությունը, եթե DA հատվածի երկարությունը հավասար է 45 սմ-ի, AB հատվածի երկարությունը 3սմ-ով մեծ է DA հատվածի երկարությունից, իսկ BC հատվածի երկարությունը 17 սմ-ով փոքր է AB հատվածի երկարությունից:

Լրացուցիչ առաջադրանքներ

6) Տեղեկություն չափման միավորների մասին:

7) B կետը AC հատվածը տրոհում է երկու հատվածի: Գտեք BC հատվածի երկարությունը, եթե՝

ա) AB=3,7 սմ, AC=7,2 սմ, 

բ) AB=4մմ, AC=4 սմ:

8) B, D և M կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա: Հայտնի է, որ BD=7սմ, MD=16սմ: Որքա՞ն կարող է լինել BM հեռավորությունը:9) 20 սմ երկարություն ունեցող AB հատվածի վրա նշված է D կետը: Գտեք AD և BD հատվածների երկարությունները, եթե BD հատվածը 4։

Անկյուն և կիսորդ (դաս 3)

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ

1) Երկու ուղիղների հատվելու դեպքում քանի՞ չփռված անկյուն է առաջանում:

2) Գծեք մի չփռված անկյուն: A, B, M և N կետերը նշեք այնպես, որ AB հատվածի բոլոր կետերը գտնվեն տվյալ անկյան ներսում, իսկ MN հատվածի բոլոր կետերը՝ անկյունից դուրս:

3) Տարեք որևէ ուղիղ, նրա վրա նշեք A և B կետեր, իսկ AB հատվածի վրա` C կետը:

ա) AB, BC, CA, AC, BA ճառագայթներից որո՞նք են համընկնում:

Համընկնում են

AB = AC

BC = BA

բ) Ո՞ր ճառագայթն է CA ճառագայթի շարունակությունը:

CB

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ (ԼՐԱՑՈՒՑԻՉ)

4.

5.

6?

7. Պատկերված է 3 անկյուն

8. ABD = 20 DBC = 20

9. ABD = 32,5 DBC = 32,5

Տեսանյութեր՝
>> Երկրաչափության տարրեր
>> Ուղիղ, հատված և անկյուն

Առաջադրանքներ

1. Անվերջ ուղիղներ

2. Մեկ հատ

3. Այդպես չի կարող հատվել

4. Այսպես

4. Գոյություն ուի երեք կետ

5. Ոչ

6. Այո

7. AB=15 MB=7,5

8. CK=11 CD=22

9. MN=21 MP=8 PN=13

10. MF=4x FN=3x

7x=28 x=4

4×4=16 3×4=12

16+12=28

MF=16 FN=12

Աշխատանք դասագրքով։

Տեսություն։

էջ 62, պարագրաֆ 3․4։

Առաջադրանքներ։

էջ 63-65, առաջադրանքներ՝ 204-219։

ա) (x-y)(x+y) = x²-y²
բ) m²-n² = (m+n)(m-n)

p²-q² = p²-pq+pq-q²
a²-b² = a²-ab+ab-b²
-c²+cd-cd+d² = -c²+d²
x²-y² = xy + y² -x² – xy

Կրճատիր կոոտորակը․

1. 1/2
2. ?
3. ?
4. 1/4
5. 3/4
6. 2/3
7. 1/4
8. 2/4
9. 1/7
10. 1/3
11. 3/4
12. ?
13. 1/3
14. ?
15. ?
16. ?
17. ?

2. Պարզեցրո՛ւ արտահայտությունը.

1. 3x+27

3. Կատարի՛ր գումարում.

1. 9/9
2. 7/6
3. 10/10
4. 15/21
5. 12/20
6. 12/25
7. 17/18
8. 29/40
9. 24/49
10. 21/44
11. 16/42
12. 24/56

4. Հաշվի՛ր տարբերությունը.

1. 1/6
2. 0